Question

11．已知集合$A=\left\{{\left.x\right|y=\sqrt{{2^x}-4}+\frac{1}{x-4}}\right\}$
1）求集合A；
2）若函數(shù)$f（x）=（{log_2}\frac{x}{8}）•（{log_2}\frac{x}{4}）（x∈A）$，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-4≥0}\\{x-4≠0}\end{array}\right.$，解得x范圍即可得出；
（2）f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=$（lo{g}_{2}x-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，由x∈A，可得log₂x≥1，且log₂x≠2，即可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-4≥0}\\{x-4≠0}\end{array}\right.$，解得x≥2，且x≠4．
∴A={x|x≥2且x≠4}．
（2）f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）
=$（lo{g}_{2}x）^{2}$-5log₂x+6
=$（lo{g}_{2}x-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，
∵x∈A，
∴l(xiāng)og₂x≥1，且log₂x≠2，
∴當(dāng)log₂x∈[1，2）時，f（x）∈（0，2]；
當(dāng)log₂x∈$（2，\frac{5}{2}]$時，f（x）∈$[-\frac{1}{4}，0）$；
當(dāng)log₂x∈$（\frac{5}{2}，+∞）$時，f（x）∈$[-\frac{1}{4}，+∞）$．
∴函數(shù)f（x）的值域是$[-\frac{1}{4}，+∞）$

點評 本題考查了函數(shù)的定義域與值域、對數(shù)的運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．