Question

20．如圖，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，A₁，B₁，C₁依次是△PBC，△PAC，△PAB的重心，AR是平面ABC內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，求證：AR∥平面A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 由A₁，B₁，C₁分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，和三角形重心所具有的特性可證A₁C₁∥平面ABC與A₁B₁∥平面ABC，可證平面ABC∥平面A₁B₁C₁，即可得證．

解答 證明：如圖，分別取AB，BC，CA的中點(diǎn)M，N，O，
連接PM，PN，PO，MN，NO，OM，
∵A₁，B₁，C₁分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
∴A₁，B₁，C₁分別在PN，PO，PM上，
且PC₁：PM=PA：PN=PB：PO=2：3．
在△PMN中，$\frac{P{C}_{1}}{PM}=\frac{P{A}_{1}}{PN}=\frac{2}{3}$，故A₁C₁∥MN，
又M，N為△ABC的邊AB，BC的中點(diǎn)，MN∥AC，
∴A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面ABC，
同理A₁B₁∥平面ABC，
∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
∴AR是平面ABC內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，AR∥平面A₁B₁C₁．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定，要證“線(xiàn)面平行”，只要證“線(xiàn)線(xiàn)平行”，故問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)與線(xiàn)的平行，屬于中檔題．