【題目】雙曲線經(jīng)過點(diǎn),兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于、.

(1)求雙曲線的方程;

(2)若過原點(diǎn),為雙曲線上異于的一點(diǎn),且直線的斜率為、,證明:為定值;

(3)若過雙曲線的右焦點(diǎn),是否存在軸上的點(diǎn),使得直線繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),都有成立?若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】(1)

(2)證明見解析

(3)存在,.

【解析】

(1)根據(jù)雙曲線所過的點(diǎn)和漸近線的夾角可得關(guān)于的方程組,解該方程組后可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè),,用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示,再利用點(diǎn)滿足的方程化簡前者可得所求的定值.

(3)設(shè)直線,,根據(jù)可得恒等式,聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達(dá)定理化簡前者可得,從而得到所求的定點(diǎn).

1)雙曲線的漸近線方程為,

因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角為,故漸近線的傾斜角為,

所以.

,故 (無解),故

所以雙曲線.

2)設(shè),,

,,所以,

因?yàn)?/span>,所以,

所以為定值.

3)雙曲線的右焦點(diǎn)為,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為:,設(shè),

因?yàn)?/span>,所以,

整理得到①,

可以得到,

因?yàn)橹本與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

,

所以.

由題設(shè)有①對任意的總成立,

,

所以①可轉(zhuǎn)化為,

整理得到對任意的總成立,

,故即所求的定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則,此時(shí),

此時(shí).

綜上,定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

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1)求,的值;

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3)利用分層抽樣的方式從手機(jī)價(jià)格在的顧客中選取人,并從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行回訪,求抽取的人手機(jī)價(jià)格在不同區(qū)間的概率.

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