已知函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=a(2x-x2)(a≠0,a∈R).
(1)若關(guān)于x的不等式g(x)≤bx-2的解集為{x|-2≤x≤-1},求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若對(duì)于任意的x>3,f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)由不等式的解集,得ax2-(2a-b)x-2=0的兩個(gè)根分別為-2,-1,運(yùn)用韋達(dá)定理,即可得到a,b;
(2)對(duì)于任意的x>3,f(x)≤g(x)恒成立等價(jià)于a≤
ln(x+1)
2x-x2
=m(x)恒成立.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷m(x)的單調(diào)性,即可得到最小值,令a不大于它即可.
解答: 解:(1)g(x)≤bx-2等價(jià)于ax2-(2a-b)x-2≥0,
由題可知ax2-(2a-b)x-2=0的兩個(gè)根分別為-2,-1,
2a-b
a
=-3,-
2
a
=2,
∴a=-1,b=-5;
(2)對(duì)于任意的x>3,f(x)≤g(x)恒成立等價(jià)于a≤
ln(x+1)
2x-x2
=m(x)恒成立.
m'(x)=
2x-x2-2(1-x2)ln(1+x)
(x+1)(2x-x2)2
,
令n(x)=2x-x2-2(1-x2)ln(1+x),
n'(x)=4xln(1+x)>0且n(0)=0,
∴n(x)>0,
∴m'(x)>0,m(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞增,
∴a≤m(3)=-
2
3
ln2,
即a的取值范圍是(-∞,-
2
3
ln2].
點(diǎn)評(píng):本題考查二次不等式的解法,考查不等式恒成立問(wèn)題,注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,求最值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+an=1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}的公差為正數(shù),其前n項(xiàng)和為T(mén)n,T3=15,且b1
1
a2
,b3成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=
3
bnbn+1
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Pn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn且Sn=3an+1,求{an}通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,然后將整個(gè)圖象沿x軸向左平移
π
2
個(gè)單位,得到的圖象與y=
1
2
sinx的圖象相同,則y=f(x)的函數(shù)表達(dá)式為( 。
A、y=
1
2
sin(
1
2
x-
π
2
B、y=
1
2
sin2(x+
π
2
C、y=
1
2
sin(
1
2
x+
π
2
D、y=
1
2
sin(2x-
π
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

平行于直線2x-y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線方程是( 。
A、2x-y+5=0
B、2x-y-5=0
C、2x-y±5=0
D、2x+y±5=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)n為正整數(shù),規(guī)定f1(x)=f(x),…fn(x)=f(f(…f(x))),已知f(x)=
2(1-x),0≤x≤1
x-1,1<x≤2

(1)解不等式:f(x)≤x;
(2)設(shè)集合A={0,1,2},求證:對(duì)任意x∈A,都有f2(x)=x;
(3)求f2014
8
9
);
(4)若集合B={x|f12(x)=x,x∈[0,2]},求證:B中至少包含有8個(gè)元素.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若cos(
π
3
-α)=
2
3
,α∈(-π,0),則sin(
π
3
+2α)=( 。
A、
2
5
9
B、
4
5
9
C、-
2
5
9
D、-
4
5
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某公司新研究了一種預(yù)防白菜腐爛的藥,為了考查這種藥物的效果,工作人員對(duì)一地里的白菜進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),得到如下的一組數(shù)據(jù):
腐爛未腐爛總計(jì)
用藥104555
沒(méi)用藥203050
總計(jì)3075105
因此,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)
 
%的情況下,我們有把握認(rèn)為這種藥起到了預(yù)防白菜腐爛的效果.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,函數(shù)f(x)=x+
2
x
的定義域?yàn)椋?,+∞).設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M,N.
(1)證明:|PM|•|PN|為定值;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.

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