已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+an=1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}的公差為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Tn,T3=15,且b1,
1
a2
,b3成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=
3
bnbn+1
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Pn
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(I)Sn+an=1,可得當(dāng)n=1時(shí),2a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,化為2an=an-1.利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)由b1,
1
a2
,b3成等比數(shù)列,可得(
1
a2
)2=b1b3
,b1(b1+2d)=16,又T3=15,可得b1+d=5,聯(lián)立解出即可.bn=3n-1.cn=
3
bnbn+1
=
1
3n-1
-
1
3n+2
,利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.
解答: 解:(I)∵Sn+an=1,
∴當(dāng)n=1時(shí),2a1=1,∴a1=
1
2
;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1),化為2an=an-1
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,an=(
1
2
)n

(II)∵b1,
1
a2
,b3成等比數(shù)列,
(
1
a2
)2=b1b3
,
∴b1(b1+2d)=16,
又T3=15,∴3b1+
3×2
2
d
=15,化為b1+d=5,
聯(lián)立
b1(b1+2d)=16
b1+d=5
,又d>0,解得
b1=2
d=3

∴bn=2+3(n-1)=3n-1.
∴cn=
3
bnbn+1
=
3
(3n-1)(3n+2)
=
1
3n-1
-
1
3n+2
,
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Pn=(
1
2
-
1
5
)
+(
1
5
-
1
8
)
+…+(
1
3n-1
-
1
3n+2
)

=
1
2
-
1
3n+2

=
3n
6n+4
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sin2
π
4
+x)+
3
cos2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)-m=2在x∈[0,
π
2
]上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用反證法證明命題:“已知a,b∈N,若ab不能被7整除,則a與b都不能被7整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為( 。
A、a,b都能被7整除
B、a,b不都能被7整除
C、a,b至少有一個(gè)能被7整除
D、a,b至多有一個(gè)能被7整除

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
a
=(x,y-2),
b
=(kx,y+
2
)(k∈R),
a
b
,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為T.求軌跡T的方程,并說明該方程表示的曲線的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓
x2
16
+
y2
25
=1
的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
 
,離心率是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若(1+2ai)i=1-bi,其中a、b∈R,i是虛數(shù)單位,則|a+bi|=( 。
A、
1
2
+i
B、5
C、
5
4
D、
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在某中學(xué)舉行的跳高比賽選撥賽中,甲和乙進(jìn)行了5次比賽,他們的成績(jī)用如圖所示的莖葉圖表示,則下列說法正確的是( 。
A、甲的平均成績(jī)比乙的平均成績(jī)高,甲比乙成績(jī)穩(wěn)定
B、甲的平均成績(jī)比乙的平均成績(jī)低,乙比甲成績(jī)穩(wěn)定
C、甲的平均成績(jī)與乙的平均成績(jī)一樣,但甲比乙成績(jī)穩(wěn)定
D、甲的平均成績(jī)與乙的平均成績(jī)一樣,但乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-3,x>0
g(x),x<0
是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),則g(-1)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=a(2x-x2)(a≠0,a∈R).
(1)若關(guān)于x的不等式g(x)≤bx-2的解集為{x|-2≤x≤-1},求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若對(duì)于任意的x>3,f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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