Question

求下列函數(shù)的極值：
（1）f（x）=

x3-2

2(x-1)2

；
（2）f（x）=x²e^-x．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)極值的定義得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x3-2

2(x-1)2

，
∴f′（x）=

3x2×2(x-1)2-(x3-2)×4(x-1)

4(x-1)4

=

x3-6x2+4

2(x-1)3

=

(x+1)(x-2)2

2(x-1)3

，
故當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）≥0，
故f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
由f（x）=

x3-2

2(x-1)2

在x=1處不連續(xù)，
故當(dāng)x=-1時，函數(shù)取極大值-

3

8

（2）∵f（x）=x²e^-x=

x2

ex

，
∴f′（x）=

2xex-x2•ex

(ex)2

=

2x-x2

ex

=

-x(x-2)

ex

，
故當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，+∞）上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=0時，函數(shù)取極小值0，當(dāng)x=2時，函數(shù)取極大值

4

e2

．

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求極值的步驟是解答的關(guān)鍵，難度不大，屬于中檔題．