Question

13．設(shè)f（x）=|x|+|x+10|．
（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；
（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時，求證：5|a+b|≤|ab+25|

Answer 1

分析 （ I）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時，等價轉(zhuǎn)化不等式5|a+b|≤|ab+25|為（a²-25）•（25-b²）≤0，結(jié)合題意可得（a²-25）•（25-b²）≤0成立，從而得出結(jié)論．

解答 解：（ I）由f（x）=|x|+|x+10|≤x+15得：
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-10}\\{-x-x-10≤x+15}\end{array}\right.$  ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-10≤x≤0}\\{-x+x+10≤x+15}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+x+10≤x+15}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x∈∅，解②求得-5≤x≤0，解③求得5≥x＞0，
故原不等式的解集為M={x|-5≤x≤5 }．
（ II）當(dāng)a，b∈M時，-5≤a≤5，-5≤b≤5，不等式 5|a+b||≤|ab+25|，
等價于25（a+b）²≤（ab+25）²，即25（a²+b²+2ab）≤a²•b²+50ab+625，
即25a²+25b²-a²•b²-625≤0，等價于（a²-25）•（25-b²）≤0．
而由-5≤a≤5，-5≤b≤5，可得a²≤25，b²≤25，∴a²-25≤0，25-b²≥0，∴（a²-25）•（25-b²）≤成立，
故要證的不等式 5|a+b|≤|ab+25|成立．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，用分析法證明不等式，屬于中檔題．