Question

2．已知點(diǎn)A是拋物線x²=4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且當(dāng)PA與拋物線相切時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 設(shè)直線AP的方程，代入拋物線方程，由△=0，求得切線方程，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的定義，即可求得a的值，c=1，根據(jù)雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，由直線PA與拋物線相切，
設(shè)直線AP的方程為y=kx-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{y}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，
∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實(shí)軸長為丨PA丨-丨PB丨=2（$\sqrt{2}$-1），則a=$\sqrt{2}$-1，c=1，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1，
則雙曲線的離心率$\sqrt{2}$+1，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．