Question

10．對于四面體A-BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心；③四面體A-BCD的四個面中最多有四個直角三角形；④若四面體A-BCD的6條棱長都為1，則它的內(nèi)切球的表面積為$\frac{π}{6}$．其中正確的命題是（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 對于①，根據(jù)線面角的定義即可判斷；
對于②，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，
對于③在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數(shù)，
對于④作出正四面體的圖形，球的球心位置，說明OE是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積．

解答 解：對于①，因為AB=AC=AD，設點A在平面BCD內(nèi)的射影是O，因為sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$，sin∠ACO=$\frac{AO}{AC}$，sin∠ADO=$\frac{AO}{AD}$，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，
則AB，AC，AD與底面所成的角相等；故①正確；
對于②設點A在平面BCD內(nèi)的射影是O，則OB是AB在平面BCD內(nèi)的射影，因為AB⊥CD，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可證BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正確；
對于③：如圖：直接三角形的直角頂點已經(jīng)標出，直角三角形的個數(shù)是4．故③正確
對于④，如圖O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為：1；
所以OE為內(nèi)切球的半徑，BF=AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以AE=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
因為BO²-OE²=BE²，
所以（$\frac{\sqrt{6}}{3}$-OE）²-OE²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
所以OE=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
所以球的表面積為：4π•OE²=$\frac{π}{6}$，故④正確．
故選D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質(zhì)，考查了學生的空間想象能力，是中檔題．