Question

關(guān)于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，解此不等式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，原不等式可變?yōu)?＜|x+3|-|x-7|＜10，通過(guò)兩邊平方和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到解集；
（Ⅱ）設(shè)t=|x+3|-|x-7|，則0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）_max，求得最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，原不等式可變?yōu)?＜|x+3|-|x-7|＜10，
由|x+3|＞|x-7|，兩邊平方，解得，x＞2，
由于||x+3|-|x-7||≤|（x+3）-（x-7）|=10，即有-10≤|x+3|-|x-7|≤10，
且x≥7時(shí)，|x+3|-|x-7|=x+3-（x-7）=10．
則有2＜x＜7．
故可得其解集為{x|2＜x＜7}；
（Ⅱ）設(shè)t=|x+3|-|x-7|，
則由對(duì)數(shù)定義及絕對(duì)值的幾何意義知，0＜t≤10，
因y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，則lgt≤1，
當(dāng)t=10，即x=7時(shí)，lgt=1為最大值，
故只需m＞1即可，
即m＞1時(shí)，f（x）＜m恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法，考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．