已知點G為△ABC的重心，過點G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，求
1
x
+
1
y
的值．
分析：由G為三角形的重心則
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
），結合
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，我們根據(jù)M，G，N三點共線，易得到x，y的關系式，整理后即可得到
1
x
+
1
y
的值．
解答：解：根據(jù)題意G為三角形的重心，
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
），
MG
=
AG
-
AM
=
1
3
（
AB
+
AC
）-x
AB
=(
1
3
-x)
AB
+
1
3
AC
，
GN
=
AN
-
AG
=y
AC
-
AG

=y
AC
-
1
3
(
AB
+
AC
)
=(y-
1
3
)
AC
-
1
3
AB
，
由于
MG
與
GN
共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實數(shù)λ，使得
MG
=λ
GN
，
即(
1
3
-x)
AB
+
1
3
AC
=λ[(y-
1
3
)
AC
-
1
3
AB
]，
即
1
3
-x=-
1
3
λ
1
3
=λ(y-
1
3
)

∴
1
3
-x
-
1
3
=
1
3
y-
1
3

即x+y-3xy=0
兩邊同除以xy整理得
1
x
+
1
y
=3．
點評：本題考查的知識點是向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據(jù)
MG
與
GN
共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實數(shù)λ，使得
MG
=λ
GN
，進而得到x，y的關系式，是解答本題的關鍵．
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