Question

10．若集合A={（m，n）|（m+1）+（m+2）+…+（m+n）=10²⁰¹⁵，m∈N，n∈N^*}，則集合A中的元素個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2016
• B． 2017
• C． 2018
• D． 2019

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的前n和公式得出（m+1）+（m+2）+…+（m+n）的和，問題轉(zhuǎn)化為n（2m+n+1）=2×10²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶•5²⁰¹⁵，討論n與（n+2m+1）的可能取值多少種情況，從而求出集合A中的元素有多少．

解答 解：由（m+1）+（m+2）+…+（m+n）=$\frac{[（m+1）+（m+n）]•n}{2}$知，
n（2m+n+1）=2×10²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶•5²⁰¹⁵；
又因?yàn)閚，（n+2m+1）一奇一偶，
所以n是偶數(shù)時(shí)，n的取值為
2²⁰¹⁶，2²⁰¹⁶×5，2²⁰¹⁶×5²，…，2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁵，共有2016個(gè)，
n是奇數(shù)時(shí)，m是偶數(shù)，同理得：
2²⁰¹⁶，2²⁰¹⁶×5，2²⁰¹⁶×5²，…，2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁵，共有2016個(gè)，
所以，集合A中共有2016個(gè)元素．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的概念與應(yīng)用問題，也考查了等差數(shù)列求和與整數(shù)奇偶性的應(yīng)用問題，是難題．