Question

18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$a{cos^2}\frac{B}{2}+b{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}c，a=2b$．
（1）證明：△ABC為鈍角三角形；
（2）若△ABC的面積為$3\sqrt{15}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A為鈍角，即可得解．
（2）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，利用三角形面積公式可求bc=24．又$c=\frac{3}{2}b$，進而可求b的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）證明：由正弦定理：$sinA\;•\;\frac{1+cosB}{2}+sinB\;•\;\frac{1+cosA}{2}=\frac{3}{2}sinC$，
∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，
∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．
又∵sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，
所以$c=\frac{3}{2}b$，所以$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+\frac{9}{4}{b^2}-4{b^2}}}{{2b\;•\;\frac{3}{2}b}}=-\frac{1}{4}＜0$，
所以A為鈍角，故△ABC為鈍角三角形．   …（6分）
（2）解：因為$cosA=-\frac{1}{4}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$，
∴$3\sqrt{15}=\frac{1}{2}bc\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴bc=24．
又$c=\frac{3}{2}b$，
所以$\frac{3}{2}{b^2}=24$，
∴b=4．     …（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．