Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，且前n項(xiàng)和為S_n，又a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和為S_n；
（Ⅱ）通過(guò)b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，若{b_n}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a₂和a₃為方程x²-14x+45=0的兩根，結(jié)合公差d＞0解方程可得a₂=5，a₃=9，可得首項(xiàng)和公差，可得答案；
（2）可得b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，由等差數(shù)列可得2×$\frac{6}{2+c}$=$\frac{1}{1+c}$+$\frac{15}{3+c}$，解關(guān)于c的方程可得．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₂+a₃=a₁+a₄=14，
∴a₂和a₃為方程x²-14x+45=0的兩根，
結(jié)合公差d＞0解方程可得a₂=5，a₃=9，
∴公差d=9-5=4，a₁=5-4=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=1+4（n-1）=4n-3
∴前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=2n²-n；
（2）由（1）知新數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$=$\frac{2{n}^{2}-n}{n+c}$，
∴b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，
∵{b_n}也是等差數(shù)列，∴2×$\frac{6}{2+c}$=$\frac{1}{1+c}$+$\frac{15}{3+c}$，
解關(guān)于c的方程可得c=$-\frac{1}{2}$，或c=0（舍去），
∴求得非零常數(shù)c的值為$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)和等差中項(xiàng)，屬中檔題．