Question

設(shè)函數(shù)f（x）滿足：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；
②對(duì)任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m）；
③f（x）不恒為0，且當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并給出你的證明；
（3）定義：“若存在非零常數(shù)T，使得對(duì)函數(shù)F（x）定義域中的任意一個(gè)x，均有F（x+T）=F（x），則稱F（x）為以T為周期的周期函數(shù)”．試證明：函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，并求出f(

1

3

)+f(

2

3

)+f(

3

3

)+…+f(

2017

3

)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于f（x）不恒為0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，可得f（0），令m=n=1，即得f（1）；
（2）令m=0，n=x，由條件，即可得到奇偶性；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）為偶函數(shù)，則f（x+2）=f（x），即f（x）以2為周期的周期函數(shù)，
運(yùn)用周期，即可得到所求值．

解答： 解：（1）由于f（x）不恒為0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，
則f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）f（0），
則f（0）=1．令m=n=1，則f（2）+f（0）=2f²（1），
又f（0）=f（2），則f²（1）=1，則f（1）=±1，
由已知，f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
即有f（-x）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）為偶函數(shù)，
則f（x+2）=f（x），即f（x）以2為周期的周期函數(shù)，
令m=n=

1

3

，f（

2

3

）+f（0）=2f²（

1

3

），即f（

2

3

）+1=2f²（

1

3

），
再令m=

2

3

，n=

1

3

得，f（1）+f（

1

3

）=2f（

2

3

）f（

1

3

），即f（

1

3

）-1=2f（

2

3

）f（

1

3

）．
而f（

2

3

）＜1，解得，f（

1

3

）=

1

2

，f（

2

3

）=-

1

2

，由條件得，f（

1

3

）=f（

5

3

），f（

2

3

）=f（

4

3

），
故f（

1

3

）+f（

2

3

）+…+f（

6

3

）=0，f（x）以2為周期的周期函數(shù)，
則f(

1

3

)+f(

2

3

)+f(

3

3

)+…+f(

2017

3

)=336×0+f（

2017

3

）=f（

1

3

）=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，考查抽象函數(shù)的解決方法：賦值法，屬于中檔題．