Question

如圖所示，已知一次函數(shù)y=kx+k的圖象（直線l）與x軸交于點(diǎn)Q，M是二次函數(shù)y=

1

2

（x²+x）上的動點(diǎn)（不在l上），A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸，是否存在這樣的k，使得

|QB|2

|QA|

為常數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表示出QB²，QA的長，得出

|QB|2

|QA|

的比值，比較分子，分母，得出須使

2

k

=1，從而求出k的值．

解答： 解：y=kx+k=k（x+1），點(diǎn)Q（-1，0），
設(shè)M（x₀，

1

2

（x₀²+x₀）），QM²=（x₀+1）²+

1

4

（x₀²+x₀）²，
B（x₀，k（x₀+1）），A（x₁，y₁）
∴MA²=

kx0- 1 2 (x02+x0)+k

k2+1

，
QA=

QM2-MA2

=

1 2 |kx0+2||x0+1|

k2+1

，
QB²=（x₀+1）²+k²（x₀+1）²=（k²+1）（x₀+1）²，

|QB|2

|QA|

=

2(k2+1)(x0+1)2 k2+1

|kx0+2||x0+1|

，
要使得

|QB|2

|QA|

為常數(shù)，須使

2

k

=1，即k=2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了距離公式，計(jì)算量較大，是一道中檔題．