Question

（本小題滿分12分）

如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2．、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)作平面與側(cè)棱、、或其延長(zhǎng)線分別相交于、、，已知。

（1）求證：⊥平面；

（2）求二面角的大小。

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析。

（2）

解析:

（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥。

因?yàn)?img width=25 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/29/36029.gif">⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。因?yàn)?img width=29 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/43/36043.gif">⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。

設(shè)，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

（2）由已知設(shè)

則

由與共線得:存在有得

 

同理:

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,

則令得 

又是平面的一個(gè)法量

所以二面角的大小為