Question

設a_n是(2-

x

)n的展開式中x項的系數(shù)（n=2，3，4，…），則極限

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件求出 a_n=n（n-1）2^n-3，用裂項法求

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

的和，再用數(shù)列極限的運算法則求得

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

) 的運算結果．

解答：解：(2-

x

)n的展開式通項公式T_r+1=

C

r n

2n-r(-

x

)r，令r=2 可得
T₃=C_n²2^n-2x，∴a_n =C_n²2^n-2=n（n-1）2^n-3．
∴

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

=

23

1×2

+

23

2×3

+…+

23

(n-1)n

 
=2³ （1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n-1

-

1

n

 ）=8×（1-

1

n

）．
∴

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

lim

n→∞

8× (1-

1

n

)=8，
故答案為：8．

點評：本題考查求展開式中某項的系數(shù)，用裂項法進行數(shù)列求和，數(shù)列極限的運算法則的應用，屬于難題．