Question

2．由四個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，x組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．
（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少個(gè)？
（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少個(gè)？
（3）若x=0，其中的偶數(shù)共有多少個(gè)？
（4）若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252，求x．

Answer 1

分析 （1）若x=5，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案；
（2）若x=9，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個(gè)數(shù)字為1、2、9或2、4、9，分“取出的三個(gè)數(shù)字為1、2、9”與“取出的三個(gè)數(shù)字為2、4、9”兩種情況討論，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）若x=0，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，分“末位是0”與“末位是2或4”兩種情況討論，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（4）分析易得x=0時(shí)不能滿足題意，進(jìn)而討論x≠0時(shí)，先求出4個(gè)數(shù)字可以組成無重復(fù)三位數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可以計(jì)算出每個(gè)數(shù)字用了18次，則有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．

解答 解：（1）若x=5，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，5；
又由要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，
在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，有A₃²=6種情況，
即能被5整除的三位數(shù)共有6個(gè)；
（2）若x=9，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，9；
又由要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個(gè)數(shù)字為1、2、9或2、4、9，
取出的三個(gè)數(shù)字為1、2、9時(shí)，有A₃³=6種情況，
取出的三個(gè)數(shù)字為2、4、9時(shí)，有A₃³=6種情況，
則此時(shí)一共有6+6=12個(gè)能被3整除的三位數(shù)；
（3）若x=0，則四個(gè)數(shù)字為1，2，4，0；
又由要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，
當(dāng)末位是0時(shí)，在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，放在前2位，有A₃²=6種情況，
當(dāng)末位是2或4時(shí)，有A₂¹×A₂¹×A₂¹=8種情況，
此時(shí)三位偶數(shù)一共有6+8=14個(gè)，
（4）若x=0，可以組成C₃¹×C₃¹×C₂¹=3×3×2=18個(gè)三位數(shù)，即1、2、4、0四個(gè)數(shù)字最多出現(xiàn)18次，
則所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為（1+2+4）×18=126，不合題意，
故x=0不成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，可以組成無重復(fù)三位數(shù)共有C₄¹×C₃¹×C₂¹=4×3×2=24種，共用了24×3=72個(gè)數(shù)字，
則每個(gè)數(shù)字用了$\frac{72}{4}$=18次，
則有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．

點(diǎn)評 本題考查排列知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確分類，合理運(yùn)用排列知識(shí)求解，第（4）問注意分x為0與否兩種情況討論．