Question

已知橢圓γ：

x2

4

+y2=1的右焦點為F，左頂點為R，點A（2，1），B（-2，1），O為坐標原點．
（1）若P是橢圓γ上任意一點，

OP

=m

OA

+n

OB

，求m²+n²的值；
（2）設Q是橢圓γ上任意一點，S（t，0），t∈（2，5），求

QS

•

QR

的取值范圍；
（3）過F作斜率為k的直線l交橢圓γ于C，D兩點，交y軸于點E，若

EC

=λ1

CF

，

ED

=λ2

DF

，試探究λ₁+λ₂是否為定值，說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）點P在橢圓上，找出點P滿足的關系式即可求解；
（2）把

QS

•

QR

的數(shù)量積表示出來，然后求其最值即可；
（3）根據(jù)題意把λ₁+λ₂的值表示出來求值即可．

解答： 解：（1）

OP

=m

OA

+n

OB

=(2m-2n，m+n)，
得P（2m-2n，m+n）
（m-n）²+（m+n）²=1，
即m2+n2=

1

2

（2）設Q（x，y），則

QS

•

QR

=(t-x，-y)(-2-x，-y)
=(x-t)(x+2)+y2=(x-t)(x+2)+1-

x2

4

=

3

4

x2+(2-t)x+1-2t
=

3

4

(x-

2t-4

3

)2-

(t+1)2

3

(-2≤x≤2)
由t∈（2，5），得0＜

2t-4

3

＜2
當x=-2時，

QS

•

QR

最大值為0；
當x=

2t-4

3

時，

QS

•

QR

最小值為-

(t+1)2

3

；
∴綜上所述：

QS

•

QR

的取值范圍為[-

(t+1)2

3

，0]
（3）由題，得F(

3

，0)，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
直線l的方程為y=k(x-

3

)，則E(0，-

3

k)，
由

x2+4y2=4 y=k(x- 3 )

，得(4k2+1)x2-8

3

k2x+4(3k2-1)=0，
故x1+x2=

8 3 k2

4k2+1

，x1x2=

4(3k2-1)

4k2+1

由

EC

=λ1

CF

得x1=λ1(

3

-x1)，
即λ1=

x1

3 -x1

，同理λ2=

x2

3 -x2

所以λ1+λ2=

x1

3 -x1

+

x2

3 -x2

=

3 (x1+x2)-2x1x2

3- 3 (x1+x2)+x1x2

=

24k2 4k2+1 - 8(3k2-1) 4k2+1

3- 24k2 4k2+1 + 4(3k2-1) 4k2+1

=-8
即λ₁+λ₂=-8為定值．

點評：本題是橢圓與向量綜合的題目，求最值難度比較大，屬于中檔題．