Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=an²+bn+1（a，b為常數(shù)，n∈N^*）
（1）如果{a_n}為等差數(shù)列，求a，b的值；
（2）如果{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，求a+b的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=（2n+1）a+b對n∈N^*成立，由此能求出a=0，b=2．
（2）由已知得a_n+2-a_n=（2n+1）a+b對n∈N^*成立，當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時，由累加法得a_n=[3+7+…+（2n-3）]a+

n-1

2

b=

n(n-1)

2

a+

n-1

2

b+1，當(dāng)n為偶數(shù)，且n≥4時，由累加法能求出a+b的取值范圍是（1，+∞）．

解答： 解：（1）∵{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
由a_n+a_n+1=an²+bn+1，得a_n+1+a_n+2=a（n+1）²+b（n+1）+1，
兩式相減，得a_n+1-a_n=（2n+1）a+b對n∈N^*成立，
∴a=0，∴2d=b，
又a₁+a₂=1+1+d=2+d=b+1，
∴d=1，b=2，
∴a=0，b=2．
（2）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=an²+bn+1（a，b為常數(shù)，n∈N^*），
∴a_n+2-a_n=（2n+1）a+b對n∈N^*成立，
當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時，
a₃-a₁=3a+b，
a₅-a₃=7a+b，
…
a_n-a_n+2=（2n-3）a+b，
把這

n-1

2

個式子的左右兩都相加，得到：
a_n-a₁=[3+7+…+（2n-3）]a+

n-1

2

b，
化簡，得a_n=[3+7+…+（2n-3）]a+

n-1

2

b
=

n(n-1)

2

a+

n-1

2

b+1，
且當(dāng)n=1時，a₁=1滿足上式．
同理，當(dāng)n為偶數(shù)，且n≥4時，
a₄-a₂=5a+b，
a₆-a₄=9a+b，
…
a_n-a_n-2=（2n-3）a+b，
把這

n

2

-1個式子的左右兩邊分別相加，
得到an-a2=[5+9+…+(2n-3)]a+(

n

2

-1)b，
化簡，得a_n=[5+9+…+（2n-3）a+（

n

2

-1）b+（a+b），
即a_n=

n(n-1)

2

a+

n

2

b，且當(dāng)n=2時，a₂=a+b滿足上式，
∴a_n=

n(n-1) 2 a+ n-1 2 b+1，n為奇數(shù) n(n-1) 2 a+ n 2 n，n為偶數(shù)

，
∵{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，∴a_n＜a_n+1，
當(dāng)n為奇數(shù)時，∵a_n＜a_n+1，即

n(n-1)

2

a+

n-1

2

b+1＜

(n+1)n

2

a+

n+1

2

b，
∴na+b-1＞0，
∴b＞1-na，
當(dāng)n為偶數(shù)時，∵a_n＜a_n+1，即

n(n-1)

2

a+

n

2

b＜

(n+1)n

2

a+

n

2

b+1，
∴na+1＞0，即a＞-

1

n

，
∴a≥0，綜上a+b的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查{a_n}為等差數(shù)列，a，b的值的求法，考查{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列時，a+b的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．