Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，點(diǎn)D在棱BB₁上，若BD=3，則AD與平面AA₁C₁C所成角的正切值為（　　）

• A、

  2 3

  5

• B、

  2 39

  13

• C、

  5

  4

• D、

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)B作BF⊥AC，過(guò)B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過(guò)D作DG⊥EF，連接AG，證明DG⊥面AA₁C₁C，∠DAG=α，解直角三角形ADG即可．

解答： 解：如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，點(diǎn)D在棱BB₁上，若BD=3，
過(guò)B作BF⊥AC，過(guò)B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過(guò)D作DG⊥EF，連接AG，
在正三棱柱中，有B₁E⊥面AA₁C₁C，BF⊥面AA₁C₁C，
故DG⊥面AA₁C₁C，
∴∠DAG=α，可求得DG=BF=2

3

，
AG=

AF2+FG2

=

4+9

=

13

，
故tanα=

DG

AG

=

2 3

13

=

2 39

13

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：考查直線(xiàn)和平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題．