Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，AP，AB，AD兩兩垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.

（1）求二面角P-CD-A的余弦值；

（2）已知H為線段PC上異于C的點(diǎn)，且DC＝DH，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）＝.

【解析】

（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面PCD的一個法向量，平面ACD的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（2）由題意設(shè)＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，所以＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)，又因?yàn)?/span>DC＝DH，再根據(jù)求解.

（1）根據(jù)題意，以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Axyz.

則A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

所以＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．

設(shè)平面PCD的法向量為＝(x,y,z)，

則即令x＝1，

則y＝2，z＝2.所以平面PCD的一個法向量為＝(1，2，2)

平面ACD的一個法向量為＝(0，0，1)，

所以cos〈，〉＝＝，

且由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角P-CD-A的余弦值為

（2） 由題意可知＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)，

設(shè)＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，

則＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)，

因?yàn)?/span>DC＝DH，所以＝，

化簡得3λ2－4λ＋1＝0，

所以λ＝1或λ＝.

又因?yàn)辄c(diǎn)H異于點(diǎn)C，

所以λ＝，

即＝.