Question

18．已知函數(shù)f（x）=x（e^x+ae^-x）（x∈R），若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，記a=m，若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，記a=n，則m+2n的值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． -1

Answer 1

分析 利用函數(shù)f（x）=x（e^x+ae^-x）是偶函數(shù)，得到g（x）=e^x+ae^-x為奇函數(shù)，然后利用g（0）=0，可以解得m．函數(shù)f（x）=x（e^x+ae^-x）是奇函數(shù)，所以g（x）=e^x+ae^-x為偶函數(shù)，可得n，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=e^x+ae^-x，因為函數(shù)f（x）=x（e^x+ae^-x）是偶函數(shù)，所以g（x）=e^x+ae^-x為奇函數(shù)．
又因為函數(shù)f（x）的定義域為R，所以g（0）=0，
即g（0）=1+a=0，解得a=-1，所以m=-1．
因為函數(shù)f（x）=x（e^x+ae^-x）是奇函數(shù)，所以g（x）=e^x+ae^-x為偶函數(shù)
所以（e^-x+ae^x）=e^x+ae^-x即（1-a）（e^-x-e^x）=0對任意的x都成立
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，特別是要掌握奇函數(shù)的一個性質(zhì)，若奇函數(shù)f（x）過原點，則必有f（0）=0，要靈活使用奇函數(shù)的這一性質(zhì)．