Question

已知函數(shù)f(x)＝(ax²＋x－1)e^x其中e是自然對數(shù)的底數(shù)a∈R.

(1)若a＝1，求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)若a<0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若a＝－1，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)＝x³＋x²＋m的圖象有3個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

 (1)a＝1時，f(x)＝(x²＋x－1)e^x，

所以f′(x)＝(2x＋1)e^x＋(x²＋x－1)e^x＝(x²＋3x)e^x，

所以曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為k＝f′(1)＝4e.

又因?yàn)?i>f(1)＝e，

所以所求切線方程為y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.

(2)f′(x)＝(2ax＋1)e^x＋(ax²＋x－1)e^x＝[ax²＋(2a＋1)x]e^x，

①若－<a<0，當(dāng)x<0或x>－時，f′(x)<0；

當(dāng)0<x<－時，f′(x)>0.

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，[－，＋∞)；單調(diào)遞增區(qū)間為[0，－]．

②若a＝－，則f′(x)＝－x²e^x≤0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，＋∞)．

③若a<－，當(dāng)x<－或x>0時，f′(x)<0；

當(dāng)－<x<0時，f′(x)>0.