Question

（1）設(shè)x＞-1，試比較ln（1+x）與x的大��；
（2）是否存在常數(shù)a∈N，使得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1對任意大于1的自然數(shù)n都成立？若存在，試求出a的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用,對數(shù)值大小的比較,歸納推理

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,二項式定理

分析：（1）設(shè)f（x）=x-ln（x+1），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最小值，進而比較大�。�
（2）取m=1，2，3，4進行驗算，得到猜測：①2＜（1+

1

m

）^m＜3，m=2，3，4，5，…，②存在a=2，使得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1恒成立．運用（1）的結(jié)論可證①，運用二項式定理，即可證明②．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=x-ln（x+1），則f′（x）=1-

1

1+x

=

x

x+1

，
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
故函數(shù)f（x）有最小值f（0）=0，則ln（x+1）≤x恒成立；
（2）取m=1，2，3，4進行驗算：
（1+

1

1

）¹=2，
（1+

1

2

）²=

9

4

=2.25，
（1+

1

3

）³=

64

27

≈2.37，
（1+

1

4

）⁴=

625

256

≈2.44，
猜測：①2＜（1+

1

m

）^m＜3，m=2，3，4，5，…，
②存在a=2，使得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1恒成立．
證明：由（1）知：當(dāng)0＜x≤1時，ln（x+1）＜x，
設(shè)x=

1

k

，k=1，2，3，4，…，
則ln（1+

1

k

）＜

1

k

，所以kln（1+

1

k

）＜1，ln（1+

1

k

）^k＜1，（1+

1

k

）^k＜e＜3，
當(dāng)k≥2時，再由二項式定理得：
（1+

1

k

）^k=

C

0 k

+C

1 k

1

k

+C

2 k

1

k2

+…

+C

k k

1

kk

＞

C

0 k

+C

1 k

1

k

=2，
即2＜（1+

1

k

）^k＜3對任意大于1的自然數(shù)k恒成立，
從而有2n＜

n

k=1

(1+

1

k

)k＜3n成立，即a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1，
所以存在a=2，使得得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1恒成立．

點評：本題考查構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、最值，進而比較大小，考查二項式定理的運用，考查歸納、猜想、證明的思想方法，屬于中檔題．