Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且橢圓Γ 的右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓Γ 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如圖，設(shè)直線(xiàn)m：y=2x與橢圓Γ 交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），且直線(xiàn)m與定直線(xiàn)x=2交于D，過(guò)D作直線(xiàn)DC∥AF交x軸于點(diǎn)C，試判斷直線(xiàn)AC與橢圓Γ 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），由已知得c=1，

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓Γ 的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=2x x2+2y2=2

，解得A的坐標(biāo)為（

2

3

，

2 2

3

）．從而

FA

=（

2

3

-1，

2 2

3

）．設(shè)C的坐標(biāo)為（m，0），則有

CD

=（2-m，4）．從而m=3

2

，由此能推導(dǎo)出直線(xiàn)AC與橢圓Γ有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），∵橢圓Γ 的右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)重合，
∴c=1，又

c

a

=

2

2

，解得a=

2

，于是有b²=a²-c²=1．
故橢圓Γ 的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．  …（4分）
（Ⅱ）聯(lián)立

y=2x x2+2y2=2

，解得x²=

2

9

，
A的坐標(biāo)為（

2

3

，

2 2

3

）．
故

FA

=（

2

3

-1，

2 2

3

）．
依題意可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4）．
設(shè)C的坐標(biāo)為（m，0），故

CD

=（2-m，4）．
因?yàn)镕A∥CD，所以（

2

3

-1）×4-(2-m)×

2 2

3

=0，
解得m=3

2

，
于是直線(xiàn)AC的斜率為k_AC=

2 2 3 -0

2 3 -3 2

=-

1

4

，…（8分）
從而得直線(xiàn)AC的方程為：y=-

1

4

(x-3

2

)，
代入x²+2y²=2，得x2+

1

8

(x2-6

2

x+18)=2，
即9x2-6

2

x+2=0，知△=72-72=0，
故直線(xiàn)AC與橢圓Γ有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．