Question

11．如圖，長(zhǎng)方形的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD，與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x，將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為函數(shù)f（x），則f（x）的圖象大致為（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)系，利用排除法進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{4}$時(shí)，BP=tanx，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{4+ta{n}^{2}x}$，
此時(shí)f（x）=$\sqrt{4+ta{n}^{2}x}$+tanx，0≤x≤$\frac{π}{4}$，此時(shí)單調(diào)遞增，
當(dāng)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$且x≠$\frac{π}{2}$時(shí)，
如圖所示，tan∠POB=tan（π-∠POQ）=tanx=-tan∠POQ=-$\frac{PQ}{OQ}$=-$\frac{1}{OQ}$，
∴OQ=-$\frac{1}{tanx}$，
∴PD=AO-OQ=1+$\frac{1}{tanx}$，PC=BO+OQ=1-$\frac{1}{tanx}$，
∴PA+PB=$\sqrt{（1-\frac{1}{tanx}）^{2}+1}$+$\sqrt{（1+\frac{1}{tanx}）^{2}+1}$，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，PA+PB=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{3π}{4}$≤x≤π，PA+PB=$\sqrt{4+ta{n}^{2}x}$-tanx，
由對(duì)稱(chēng)性可知函數(shù)f（x）關(guān)于x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)，
且f（$\frac{π}{4}$）＞f（$\frac{π}{2}$），且軌跡為非線型，
排除A，C，D，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)條件先求出0≤x≤$\frac{π}{4}$時(shí)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．