Question

已知函數(shù)f（x）=

3-x

x2+2x+1

，g（x）=

1

3

ax³-a²x，（a≠0）
（1）當x∈[0，3]時，求f（x）的值域．
（2）對任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使得2f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過函數(shù)f（x）=

3-x

x2+2x+1

關(guān)系式的恒等變換，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的標準形式，再利用函數(shù)的定義域來求函數(shù)的值域．
（2）由于函數(shù)g（x）=

1

3

ax³-a²x，（a≠0）屬于高次函數(shù)，根據(jù)常規(guī)的分析，一般采用導數(shù)法來求解，來進一步確定參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）已知函數(shù)f（x）=

3-x

x2+2x+1

通過恒等變換，轉(zhuǎn)化為：
f（x）=

-(x+1)+4

(x+1)2

=4(

1

x+1

)2-(

1

x+1

)=4(

1

x+1

-

1

8

)2-

1

16

，
設(shè)

1

x+1

=t，則二次函數(shù)的對稱軸方程為t=

1

8

 
∵0≤x≤3
∴

1

4

≤(

1

x+1

)≤1，即

1

4

≤t≤1，
根據(jù)t的取值范圍在對稱軸的一側(cè)，具有嚴格的單調(diào)性，進一步求得
    0≤f（x）≤3
（2）又由于 0≤f（x）≤3，
則2f（x₁）的范圍是0≤f（x₁）≤6
 由題意知：對任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使得2f（x₁）=g（x₂）成立，
  則y=g（x）的值域包含（0，6]
∵g（x）=

1

3

ax³-a²x
∴g′（x）=ax²-a²=a（x²-a） x∈[0，3]
   ①當a＜0時 g′（x）＜0 g（x）在[0，3]上單調(diào)遞減
    則g（x）≤g（0）=0  因此不合題意
   ②當0＜a＜9時    令g′（x）=0  得x=

a

                   令g′（x）＞0  得

a

＜x≤3
                   令g′（x）＜0  得  0≤x＜

a

       所以g（x）在（0，

a

）上單調(diào)遞減，在[

a

，3]上單調(diào)遞增
      顯然  g（

a

）＜g（0）=0，由題意知 g（3）≥6
       即   a²-3a+2≤0  解得1≤a≤2
   ③當a≥9時 g′（x）=a（x²-a）≤0
   所以g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減
   則g（x）≤g（0）=0  因此也不合題意
   綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為：1≤a≤2

點評：本題第一問在求函數(shù)的值域時利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得值域； 第二問求參數(shù)的取值范圍時，充分利用函數(shù)的導數(shù)對參數(shù)進行分類討論求的結(jié)果