Question

【題目】已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，且滿足，.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)作斜率為的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，取值范圍是

【解析】

（1）由知為線段的中點(diǎn)， 由知， 故點(diǎn)為線段的垂直平分線上的一點(diǎn)，從而可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，由此可得其軌跡方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線.與橢圓方程聯(lián)立消去得一元二次方程，設(shè)，則，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，則由對(duì)角線垂直即可把表示為的函數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）由知為線段的中點(diǎn)， 由知， 故點(diǎn)為線段的垂直平分線上的一點(diǎn)，從而，則有，

∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓， ∵ ∴，∴點(diǎn)的軌跡方程是.

（2）由（1）知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線.

由，消去并整理，得到.

設(shè)，則，從而

假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，則，

∵菱形的對(duì)角線互相垂直， ∴，

即

又 ∴

即

由，且， ，

故存在滿足題意的點(diǎn)，且的取值范圍是.