Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-ax，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-$\frac{5}{2}$．
（1）若f（x）和g（x）在同一點(diǎn)處有相同的極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）對(duì)于一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)G（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$-g（x），求證：G（x）＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的極小值，然后列出方程求解a 即可．
（2）使對(duì)于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，轉(zhuǎn)化為$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$恒成立，只需$a≤{（2lnx+x+\frac{3}{x}）_{min}}$，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，推出a的范圍即可．
（3）若證$G（x）＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，則只需證明$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，即證$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，構(gòu)造函數(shù)設(shè)m（x）=xlnx，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵g′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，則g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，則g（x）單調(diào)遞增．∴g（x）_極小值=g（1）=-2
又∵f（x）和g（x）在同一點(diǎn)處有相同的極值，
∴f（1）=1-a=-2，即a=3．
（2）若使對(duì)于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，則只需使得不等式$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$恒成立，即只需$a≤{（2lnx+x+\frac{3}{x}）_{min}}$
設(shè)$t（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}$，則$t'（x）=\frac{2}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{（x-1）（x+3）}{x^2}（x＞0）$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t'（x）＜0，則t（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t'（x）＞0，則t（x）單調(diào)遞增．
∴t（x）_最小值=t（1）=4，
∴a≤4，即a的取值范圍為（-∞，4]
（3）若證$G（x）＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，則只需證明$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，即證$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$
設(shè)m（x）=xlnx，則m'（x）=lnx+1，由于m（x）在$（0，\frac{1}{e}）$單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{e}，+∞）$單調(diào)遞增，所以$m{（x）_{min}}=m（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；設(shè)$n（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，則$n'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，由于n（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，所以$n{（x）_{max}}=n（1）=-\frac{1}{e}$．
所以m（x）≥n（x）又由于m（x）與n（x）不在同一個(gè)變量時(shí)取得最值，即m（x）＞n（x）
綜上所述，$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．