Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，求出k值．
（Ⅱ）試討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）已知函數(shù)f（x）在x=e處取得極小值，不等式f（x）＜$\frac{m}{x}$的解集為P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠φ，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出k的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m＞（xlnx+e）_min，令g（x）=xlnx+e，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由條件得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$（x＞0），
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，
∴此切線的斜率為0，
即f′（e）=0，有$\frac{1}{e}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$=0，得k=e；
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$（x＞0），
若k≤0，則f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
若k＞0，當(dāng)x＞k時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜k時(shí)，f'（x）＜0f（x）單調(diào)遞減；
所以，k≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，+∞）．
k＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（k，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（0，k）．
（Ⅲ）由題可得k=e，
因?yàn)镸∩P≠∅，所以f（x）＜$\frac{m}{x}$在[e，3]上有解，
即?x∈[e，3]，使f（x）＜$\frac{m}{x}$成立，
即?x∈[e，3]，使 m＞xlnx+e成立，所以m＞（xlnx+e）_min，
令g（x）=xlnx+e，g′（x）=1+lnx＞0，
所以g（x）在[e，3]上單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（e）=2e，
所以m＞2e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．