Question

1．已知函數y=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）．
（1）若ω=$\frac{π}{4}$，求函數的單調增區(qū)間和對稱中心；
（2）函數的圖象上有如圖所示的A，B，C三點，且滿足AB⊥BC．
①求ω的值；
②求函數在x∈[0，2）上的最大值，并求此時x的值．

Answer 1

分析 （1）ω=$\frac{π}{4}$時求出函數y的單調增區(qū)間和對稱中心；
（2）①由圖知B是函數圖象的最高點，設出點B的坐標和最小正周期，表示出點A、C的坐標，利用坐標表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$，根據數量積求出T、ω的值；
②由x的取值范圍求出函數y的最大值，計算對應的x值．

解答 解：（1）ω=$\frac{π}{4}$時，函數y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：-3+8k≤x≤1+8k，k∈Z，
∴函數y的單調增區(qū)間為[-3+8k，1+8k]，（k∈Z）；…（4分）
令$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得x=-1+4k，k∈Z，
∴函數y的對稱中心為（-1+4k，0），（k∈Z）；…（8分）
（2）①由圖知：點B是函數圖象的最高點，設B（x_B，$\sqrt{3}$），
設函數最小正周期為T，則A（x_B-$\frac{T}{4}$，0），C（x_B+$\frac{3T}{4}$，0）；
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{T}{4}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{3T}{4}$，-$\sqrt{3}$），…（10分）
由$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{16}$T²-3=0，
解得：T=4，
∴ω=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$；…（12分）
②由x∈[0，2]得$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴函數y在[0，2]上的最大值為$\sqrt{3}$，…（14分）
此時$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
則x=$\frac{1}{2}+$4k，k∈Z；
又x∈[0，2]，∴x=$\frac{1}{2}$．…（16分）

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了數形結合以及平面向量的應用問題，是綜合性題目．