Question

11．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）
（1）將C的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）在直角坐標系xOy中，P（0，2），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ+2$\sqrt{3}$=0，Q為C上的動點，求線段PQ的中點M到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，將C的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）將直線l 的方程化為普通方程為x+$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0．設Q（$\sqrt{3}$cosα，sinα），則M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα，1+$\frac{1}{2}$sinα），利用點到直線的距離公式，即可求線段PQ的中點M到直線l的距離的最小值．

解答 解：（1）消去參數(shù)得，曲線C的普通方程得$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．  …（5分）
（2）將直線l 的方程化為普通方程為x+$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0．
設Q（$\sqrt{3}$cosα，sinα），則M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα，1+$\frac{1}{2}$sinα），
∴d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+2\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}sin（α+\frac{π}{4}）+3\sqrt{3}|}{2}$，
∴最小值是$\frac{6\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4}$．…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的轉化，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．