Question

邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E∈AB，F(xiàn)∈BC
（1）如果E、F分別為AB、BC中點(diǎn)，分別將△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于點(diǎn)P．證明：在折疊過(guò)程中，A點(diǎn)始終在某個(gè)圓上，并指出圓心和半徑．
（2）如果F為BC的中點(diǎn)，E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿DE、DF將△AED、△DCF折起，使A、C重合于點(diǎn)P，求三棱錐P-DEF體積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三角形在折疊過(guò)程的點(diǎn)的變化，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵E、F分別為AB、BC中點(diǎn)，在平面圖形中連結(jié)AF，BD交O點(diǎn)，AF交DE于M，則O為三角形DEF的垂心，
三角形AED在沿DE的折疊過(guò)程中，AM始終垂直于DE，
∴過(guò)A在過(guò)M且與DE垂直的平面上，
又AM=

2

5

，
∴A在以M為圓心，AM為半徑的圓上．
（2）由于PD⊥PF，PD⊥PE，
故PD⊥平面PEF，
∴當(dāng)三角形PEF面積最大時(shí)，三棱錐P-DEF體積最大，
設(shè)PE=t，∠EPF=α，則（2-t）²+1=1+t²-2tcosα，
即cosα=

2t-2

t

，
則S△PEF=

1

2

t•

1-( 2t-2 t )2

=

1

2

•

-3t2+8t-4

，
故當(dāng)t=

4

3

時(shí)，體積最大為

2 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查考查空間幾何體的折疊問(wèn)題，以及三棱錐的體積計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，難度較大．