已知函數(shù)f(x)=1-
5x•a
5x+1
,x∈(b-3,2b)是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)證明:f(x)是區(qū)間(b-3,2b)上的減函數(shù);
(3)若f(m-1)+f(2m+1)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的判斷
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(0)有意義,則f(0)=0,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,列出方程,即可得到a,b;
(2)運(yùn)用單調(diào)性的定義,注意作差、變形,同時(shí)運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷符號(hào),得到結(jié)論成立;
(3)運(yùn)用奇函數(shù)的定義和函數(shù)f(x)是區(qū)間(-2,2)上的減函數(shù),得到不等式組,注意定義域的運(yùn)用,解出它們即可得到范圍.
解答: (1)解:∵函數(shù)f(x)=1-
a•5x
5x+1
,x∈(b-3,2b)是奇函數(shù),
f(0)=1-
a
2
=0
,且b-3+2b=0,
即a=2,b=1.
(2)證明:由( I)得f(x)=1-
2•5x
5x+1
=
1-5x
5x+1
,x∈(-2,2),
設(shè)任意 x1,x2∈(-2,2)且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=
1-5x1
5x1+1
-
1-5x2
5x2+1
=
2(5x2-5x1)
(5x1+1)(5x2+1)
,
∵x1<x25x15x25x2-5x1>0
又∵5x1+1>0,5x2+1>0
2(5x2-5x1)
(5x1+1)(5x2+1)
>0
,∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)是區(qū)間(-2,2)上的減函數(shù).
(3)解:∵f(m-1)+f(2m+1)>0,
∴f(m-1)>-f(2m+1)
∵f(x)奇函數(shù)∴f(m-1)>f(-2m-1)
∵f(x)是區(qū)間(-2,2)上的減函數(shù)
m-1<-2m-1
-2<m-1<2
-2<2m+1<2
即有
m<0
-1<m<3
-
3
2
<m<
1
2

∴-1<m<0,
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和判斷,以及運(yùn)用解不等式,注意定義域,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題和易錯(cuò)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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10i
2-i
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已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],且f(a)=f(b),對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2)都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|
(1)設(shè)S=(x+y-3)2+(1-x)2+(6-2y-x)2,當(dāng)且僅當(dāng)x=a,y=b時(shí),S取得最小值,求a,b的值;
(2)在(1)的條件下,證明:對(duì)任意x1,x2∈[a,b],有|f(x1)-f(x2)|<
5
6
成立.

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已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法中不正確的是(  )
A、圓M的圓心為(4,-3)
B、圓M被x軸截得的弦長為8
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D、圓M被y軸截得的弦長為6

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邊長為2的正方形ABCD中,E∈AB,F(xiàn)∈BC
(1)如果E、F分別為AB、BC中點(diǎn),分別將△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起,使A、B、C重合于點(diǎn)P.證明:在折疊過程中,A點(diǎn)始終在某個(gè)圓上,并指出圓心和半徑.
(2)如果F為BC的中點(diǎn),E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),沿DE、DF將△AED、△DCF折起,使A、C重合于點(diǎn)P,求三棱錐P-DEF體積的最大值.

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已知A,B是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)左右頂點(diǎn),B(2,0)過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓與M,N,交直線x=4于點(diǎn)P,且直線PA,PF,PB的斜率成等差數(shù)列,T(
1
4
,0)點(diǎn)是定點(diǎn)
(1)求橢圓C的方程;
(2)求三角形MNT面積的最大值.

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給出下列5個(gè)命題:
①函數(shù)y=|sin(2x-
π
12
)|的最小正周期
π
2
是;
②直線x=
12
是函數(shù)y=2sin(3x-
π
4
)的一條對(duì)稱軸;
③函數(shù)y=
1
2
sin2x-x有三個(gè)零點(diǎn);
④若sinα+cosα=-
1
5
,且α為第二象限角,則tanα=
3
4
;
⑤函數(shù)y=cos(2x-3)在區(qū)間(
2
3
,3)上單調(diào)遞減.
其中正確的是
 
(填出所有正確命題的序號(hào)).

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