若A、B與 F1、F2分別為橢圓C：的兩長軸端點與兩焦點，橢圓C上的點P使得∠F1PF2=，則tan∠APB=    ．
【答案】分析：由橢圓的定義和勾股定理，算出點P在第一象限時的坐標為P（，），再由直線PA、PB的傾斜角與∠APB的關系，結合斜率公式和正切的差角公式，即可算出tan∠APB的值．
解答：解：根據(jù)題意，∠APB的大小與點P在哪一象限無關，因此以點P在第一象限為例，設P（m，n）
∵|PF1|+|PF2|=2a=2，|PF1|2+|PF2|2=4c2=16
∴|PF1|•|PF2|=[（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|2+|PF2|2）]=2
由此可得，△PF1F2的面積S=|PF1|•|PF2|=1
又∵△PF1F2的面積S=|F1F2|•n=1
∴n==，代入橢圓方程可得m=，得P（，）
因此：kPA==，kPB==
∵∠APB等于PB的傾斜角減去PA的傾斜角
∴tan∠APB===-
故答案為：
點評：本題給出橢圓上一點對兩個焦點所張的角為直角，求該點與長軸兩個頂點所張角的正切值，著重考查了直線的斜率公式、兩角差的正切公式和橢圓的幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點F且傾斜角為
π
3
的直線與C相交于A、B兩點，且3
AF
=5
FB
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△ABF1的面積小于等于
8
3
5
（F1為左焦點），求弦AB長度的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
．
（1）若圓（x-2）2+（y-1）2=
20
3
與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓的方程；
（2）設L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為60°．求
|MF|
|NF|
的值．
（3）在（1）的條件下，橢圓W的左右焦點分別為F1、F2，點R在直線l：x-
3
y+8=0上．當∠F1RF2取最大值時，求
|RF1|
|RF2|
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ正切值的取值范圍；
（2）設以O為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．
（3）設F1為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，左、右焦點分別為
F1，F(xiàn)2，點P（2，
3
），點F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l1：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，求證：直線l1經(jīng)過定點，并求該定點的坐標．
（3）若過點B（2，0）的直線l2（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），△OBE與△OBF的面積之比為
1
2
，求直線l2的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法中，正確的有
 
．
①若點P（x0，y0）是拋物線y2=2px上一點，則該點到拋物線的焦點的距離是|PF|=x0+
p
2
；
②設F1、F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩個焦點，P（x0，y0）為雙曲線上一動點，∠F1PF2=θ，則△PF1F2的面積為b2tan
θ
2
；
③設定圓O上有一動點A，圓O內(nèi)一定點M，AM的垂直平分線與半徑OA的交點為點P，則P的軌跡為一橢圓；
④設拋物線焦點到準線的距離為p，過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，則
1
|AF|
、
1
p
、
1
|BF|
成等差數(shù)列．

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