Question

17．在四邊形ABCD中，已知內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
求：
（1）cosC和BD；
（2）四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）在△ADB中，△DCB中，分別使用余弦定理求得cosA，cosC，由cosA=-cosC即可解得BD，從而可求cosC的值；
（2）四邊形ABCD的面積S=S_△ADB+S_△BDC．分別根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵在四邊形ABCD中，內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
∴cosA=-cosC．
∵在△ADB中，cosA═$\frac{A{D}^{2}+A{B}^{2}-B{D}^{2}}{2×AD×AB}$=$\frac{4+1-B{D}^{2}}{2×2×1}$=$\frac{5-B{D}^{2}}{4}$，
在△DCB中，cosC=$\frac{C{D}^{2}+B{C}^{2}-B{D}^{2}}{2×CD×BC}$=$\frac{4+9-B{D}^{2}}{2×2×3}$=$\frac{13-B{D}^{2}}{12}$，
∴可得：$\frac{5-B{D}^{2}}{4}$=-$\frac{13-B{D}^{2}}{12}$，即可解得：BD=$\sqrt{7}$，
∴cosC=$\frac{13-B{D}^{2}}{12}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵由（1）可得：cosC=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{3}$，A=$\frac{2π}{3}$，
四邊形ABCD的面積S=S_△ADB+S_△BDC=$\frac{1}{2}$AB•AD•sinA+$\frac{1}{2}$CB•CD•sinC=$\frac{1}{2}×1×2×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)余弦定理以及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．