Question

6．已知數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k為常數(shù)）．已知a₁=a，a₂=b（a，b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k為常數(shù)），a₁=a，a₂=b（a，b為常數(shù)），當(dāng)n=1時，${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}+k$，解得${a}_{3}=\frac{^{2}-k}{a}$．可知：存在常數(shù)λ=$\frac{{a}^{2}+^{2}-k}{ab}$，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．由于$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k為常數(shù)），${a}_{n}^{2}$=a_n-1a_n+1+k，（n≥2）．相減變形可得：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，以此類推可得：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=…=$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{{a}_{2}}$，即可證明．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k為常數(shù)），a₁=a，a₂=b（a，b為常數(shù)），
∴當(dāng)n=1時，${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}+k$，即b²=aa₃+k，解得${a}_{3}=\frac{^{2}-k}{a}$．
存在常數(shù)λ=$\frac{{a}^{2}+^{2}-k}{ab}$，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．
下面給出證明：∵$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k為常數(shù)），∴${a}_{n}^{2}$=a_n-1a_n+1+k，（n≥2）．
∴${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=a_na_n+2-a_n-1a_n+1，
∴${a}_{n+1}^{2}$+a_n-1a_n+1=${a}_{n}^{2}$+a_na_n+2，
∴$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
以此類推可得：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=…=$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{a+\frac{^{2}-k}{a}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-k}{ab}$，
∴a_n+a_n+2=$\frac{{a}^{2}+^{2}-k}{ab}$a_n+1對任意n∈N^*都成立．
因此存在常數(shù)λ=$\frac{{a}^{2}+^{2}-k}{ab}$，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．