Question

12．函數(shù)$y=\frac{4-cosx}{cosx+3}$的值域為[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 把已知等式變形，得到cosx=$\frac{4-3y}{y+1}$，然后利用余弦函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化為含有y的絕對值不等式求解．

解答 解：由$y=\frac{4-cosx}{cosx+3}$，得ycosx+3y=4-cosx，即（y+1）cosx=4-3y，
∴cosx=$\frac{4-3y}{y+1}$，
由|cosx|≤1，得$|\frac{4-3y}{y+1}|≤1$，
即（4-3y）²≤（y+1）²，整理得：8y²-26y+15≤0．
解得：$\frac{3}{4}≤y≤\frac{5}{2}$．
∴函數(shù)$y=\frac{4-cosx}{cosx+3}$的值域為[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]．
故答案為：[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域的求法，考查了三角函數(shù)的有界性，訓練了絕對值不等式的解法，是中檔題．