Question

6．求證：x∈R時(shí)，|x-1|≤4|x³-1|．

Answer 1

分析 |x-1|≤4|x³-1||x-1|≤4|（x-1）（x²+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x²+x+1）|，分類討論，即可證明結(jié)論．

解答 證明：|x-1|≤4|x³-1||x-1|≤4|（x-1）（x²+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x²+x+1）|
x=1時(shí)，左式=右式=0，符合題意；
x≠1時(shí)，x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{4}$，所以4|x-1||（x²+x+1）|＞|x-1|；
綜上，x∈R時(shí)，|x-1|≤4|x³-1|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．