Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+2^x，若f（x²-4）＜2，則實數(shù)x的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解法一：不等式即 ln（x²-4）+2x2-4＜2，令t=x²-4＞0，不等式即lnt+2^t＜2 ①．令h（t）=lnt+2^t，由函數(shù)h（t）的單調(diào)性可得x²-4＜1，從而求得x的范圍．
解法二：根據(jù)函數(shù)f（x）=lnx+2^x在定義域（0，+∞）上式增函數(shù)，f（1）=2，由不等式可得x²-4＜1，從而求得x的范圍．

解答： 解：解法 一：∵函數(shù)f（x）=lnx+2^x，∴f（x²-4）=ln（x²-4）+2x2-4，
∴不等式即 ln（x²-4）+2x2-4＜2．
令t=x²-4＞0，不等式即lnt+2^t＜2 ①．
令h（t）=lnt+2^t，顯然函數(shù)h（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h（1）=2，
∴由不等式①可得t＜1，即 x²-4＜1，即x²＜5．
由

x2-4＞0 x2＜5

解得-

5

＜x＜-2，或2＜x＜

5

，
故答案為：（-

5

，-2）∪（2，

5

）．
解法二：由于函數(shù)f（x）=lnx+2^x，∴f（1）=2，
再根據(jù)函數(shù)f（x）=lnx+2^x在定義域（0，+∞）上式增函數(shù)，∴由f（x²-4）＜2可得x²-4＜1，
求得-

5

＜x＜-2，或2＜x＜

5

，
故答案為：（-

5

，-2）∪（2，

5

）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．