Question

用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j個數(shù)（i，j∈N₊），使得a_i1=aij=i．每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和．設(shè)第n（n∈N₊）行中的各數(shù)之和為b_n．
（1）寫出b₁，b₂，b₃，b₄，并寫出b_n+1與b_n的遞推關(guān)系（不要求證明）；
（2）令c_n=b_n+2，證明{c_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式；
（3）數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N₊）恰好成等差數(shù)列？若存在，求出p，q，r的關(guān)系；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：

分析：（1）利用數(shù)表，可求b₁，b₂，b₃，b₄，并且b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2=2b_n+2．
（2）由b_n+1=2b_n+2，可得b_n+1+2=2（b_n+2），從而{b_n+2}是以b₁+2=3為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)p＞q＞r，{b_n}是遞增數(shù)列，2b_q=b_p+b_r，由此能導(dǎo)出數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r恰好成等差數(shù)列．

解答： （1）解：b₁=1，b₂=2+2=4，b₃=3+4+3=10，b₄=4+7+7+4=22，
b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=n+1+（a_n1+a_n2）+…+（a_n（n-1）a_nn）+n+1=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2=2b_n+2；
（2）證明：∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2）
∴{b_n+2}是以b₁+2=3為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∵c_n=b_n+2，∴{c_n}是等比數(shù)列，
∵b_n+2=c_n=3•2^n-1，
∴b_n=3•2^n-1-2；
（3）解：若數(shù)列{b_n}中存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差數(shù)列，
不妨設(shè)p＞q＞r，顯然{b_n}是遞增數(shù)列，則2b_q=b_p+b_r（12分）
即2（3•2^q-1-2）=（3•2^p-1-2）+（3•2^r-1-2），化簡得：2•2^q-r=2^p-r+1（*）（14分）
由于p，q，r∈N^*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，
∴（*）式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，
故數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差數(shù)列．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．