【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點,過點A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸于點D,且有丨FA丨=丨FD丨.當點A的橫坐標為3時,△ADF為正三角形.

(1)求C的方程;
(2)若直線l1∥l,且l1和C有且只有一個公共點E,
(。┳C明直線AE過定點,并求出定點坐標;
(ⅱ)△ABE的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:當點A的橫坐標為3時,過點A作AG⊥x軸于G,

A(3, ),F(xiàn)( ,0), ,

∵△ADF為正三角形,

又∵ ,

,

∴p=2.

∴C的方程為y2=4x.

當D在焦點F的左側(cè)時,

又|FD|=2|FG|=2( ﹣3)=p﹣6,

∵△ADF為正三角形,

∴3+ =p﹣6,解得p=18,

∴C的方程為y2=36x.此時點D在x軸負半軸,不成立,舍.

∴C的方程為y2=4x.


(2)

解:(。┰O(shè)A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,

∴D(x1+2,0),

∴kAD=﹣

由直線l1∥l可設(shè)直線l1方程為

聯(lián)立方程 ,消去x得

由l1和C有且只有一個公共點得△=64+32y1m=0,∴y1m=﹣2,

這時方程①的解為 ,代入 得x=m2,∴E(m2,2m).

點A的坐標可化為 ,直線AE方程為y﹣2m= (x﹣m2),

,

,

,

∴直線AE過定點(1,0);

(ⅱ)直線AB的方程為 ,即

聯(lián)立方程 ,消去x得 ,

,

= ,

由(。cE的坐標為 ,點E到直線AB的距離為:

= ,

∴△ABE的面積 = ,

當且僅當y1=±2時等號成立,

∴△ABE的面積最小值為16.


【解析】(1)根據(jù)拋物線的焦半徑公式,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì),求出的p值;(2)(ⅰ)設(shè)出點A的坐標,求出直線AB的方程,利用直線l1∥l,且l1和C有且只有一個公共點E,求出點E的坐標,寫出直線AE的方程,將方程化為點斜式,可求出定點;(ⅱ) 利用弦長公式求出弦AB的長度,再求點E到直線AB的距離,得到關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式,再利用基本不等式求最小值.

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