Question

已知開口向上的二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c，（a，b，c∈R）滿足f（1）=0，且關(guān)于x的方程f（x）-2x+3b=0的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)．若向量

m

=(1，-2)，

n

=(a，b)，則

m

•

n

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：由f（1）=0，則a＞0，a+2b+c=0，即c=-a-2b，再令g（x）=ax²+（2b-2）x+c+3b的零點分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，即有

g(0)＞0 g(1)＜0 g(2)＞0

，化簡可得

b＞a 3b＜2 3a+5b＞4

，在平面直角坐標(biāo)系a-O-b中，畫出上面不等式組表示的平面區(qū)域，求出交點A，C，再由向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式得到

m

•

n

=a-2b，在平面直角坐標(biāo)系a-O-b中，作出直線l：z=a-2b，平移直線l，通過觀察即可得到取值范圍．

解答： 解：由于開口向上的二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c，
滿足f（1）=0，則a＞0，a+2b+c=0，即c=-a-2b，
由于關(guān)于x的方程f（x）-2x+3b=0的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，
則有g(shù)（x）=ax²+（2b-2）x+c+3b的零點分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，
即有

g(0)＞0 g(1)＜0 g(2)＞0

，即有

c+3b＞0 a+5b+c＜2 4a+7b+c＞4

，即

b＞a 3b＜2 3a+5b＞4

，
在平面直角坐標(biāo)系a-O-b中，畫出上面不等式組表示的平面區(qū)域，如右圖：由直線a-b=0和直線3a+5b-4=0，解得交點C（

1

2

，

1

2

），
由直線3b-2=0和直線3a+5b-4=0，解得交點A（

2

9

，

2

3

），
由于向量

m

=(1，-2)，

n

=(a，b)，則

m

•

n

=a-2b，
在平面直角坐標(biāo)系a-O-b中，作出直線l：z=a-2b，
通過平移直線l，當(dāng)l經(jīng)過點C時，z=

1

2

-2×

1

2

=-

1

2

，
當(dāng)l經(jīng)過點A點時，z=

2

9

-2×

2

3

=-

10

9

．
則所求的取值范圍是：(-

10

9

，-

1

2

)．
故答案為：（-

10

9

，-

1

2

）．

點評：本題考查二次函數(shù)的零點的分布，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式組表示的平面區(qū)域，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，以及平移直線得到最值的方法，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．