Question

13．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，試?yán)�用正、余弦定理與和角公式兩種方法證明△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 法一：直接利用正弦定理以及余弦定理推出邊的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀．
法二：由三角形的知識和和差角的三角函數(shù)公式可得sin（B-C）=0，可得B=C，可得三角形為等腰三角形．

解答 證明：法一：∵sinA=2sinBcosC，
∴利用正弦定理可得：a=2bcosC，
由余弦定理可得：a=2b$•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
可得：b=c，
∴三角形是等腰三角形．
法二：∵在△ABC中sinA=2sinBcosC，
∴sin[π-（B+C）]=2sinBcosC，
∴sin（B+C）=2sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，
∴sin（B-C）=0，
∴B=C，即三角形為等腰三角形．

點評 本題考查三角形形狀的判定，涉及和差角的三角函數(shù)公式，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．