Question

5．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=at}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），曲線C₁的方程為ρ（ρ-4sinθ）=12，定點A（6，0），點P是曲線C₁上的動點，Q為AP的中點．
（1）求點Q的軌跡C₂的直角坐標方程；
（2）直線l與直線C₂交于M，N兩點，若|MN|≥2$\sqrt{3}$，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先，將曲線C₁化為直角坐標方程，然后，根據(jù)中點坐標公式，建立關(guān)系，從而確定點Q的軌跡C₂的直角坐標方程；
（2）首先，將直線方程化為普通方程，然后，運用點到直線的距離公式和弦長公式，解不等式即可得到取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
曲線C₁的極坐標方程ρ（ρ-4sinθ）=12，
可得曲線C₁的直角坐標方程為：x²+y²-4y=12，
設點P（x′，y′），Q（x，y），
根據(jù)中點坐標公式，得$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x-6}\\{y′=2y}\end{array}\right.$，代入x²+y²-4y=12，
得點Q的軌跡C₂的直角坐標方程為：（x-3）²+（y-1）²=4；
（2）直線l的普通方程為：y=ax，
設圓心到直線的距離為d，
由弦長公式可得，|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-tbegc0d^{2}}$≥2$\sqrt{3}$，
可得圓心（3，1）到直線的距離為d=$\frac{|3a-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≤$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$，
即為4a²-3a≤0，
解得實數(shù)a的取值范圍為：[0，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題重點考查了圓的極坐標方程、直線的參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系等知識，考查比較綜合，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是準確運用直線和圓的特定方程求解．