Question

3．點(diǎn)F為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點(diǎn)A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B．若3$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}$=0，則雙曲線C的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 聯(lián)立直線方程解得A，B的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，解得雙曲線的a，b，c和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)F（c，0），由OA⊥FA，
且OA的方程為y=$\frac{a}$x，OB的方程為y=-$\frac{a}$x，
直線AB的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$解得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$解得B（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$）
由3$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}$=0，即3$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{0}$，
即3（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$）+（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$-c，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$）=0
可得3（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c）+$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$-c=0，
即3a²+$\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$=4c²，
由b²=c²-a²，化簡可得3a⁴-5a²c²+2c⁴=0，
即（a²-c²）（3a²-2c²）=0，
即a²=c²，（舍）或3a²=2c²，
即c²=$\frac{3}{2}$a²，c=$\sqrt{\frac{3}{2}}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，注意運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．