Question

11．設(shè)P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0）的上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，（F₁、F₂為左、右焦點(diǎn)），則△F₁PF₂的面積等于（　�。�

• A． $\sqrt{3}{a^2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}{a^2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先利用雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，利用余弦定理求出|PF₁|•|PF₂|的值，結(jié)合三角形的面積公式即可求出△F₁PF₂的面積．

解答 解：∵雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0），
∴b=1，不妨設(shè)P是雙曲線的右支上的一個(gè)點(diǎn)，
則由雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，
∴4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos$\frac{2π}{3}$=|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁|•|PF₂|
=（|PF₁|-|PF₂|）²+3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²+3|PF₁|•|PF₂|，
即3|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²=4b²=4，
則|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4}{3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的求法，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合余弦定理將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線定義、余弦定理的靈活運(yùn)用，是中檔題．