Question

7．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線與雙曲線的兩支分別交于點P、Q．若△PQF₂為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 7

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義，建立方程關(guān)系求出OF₁，QF₁的大小，利用余弦定理進行求解即可．

解答 解：作出相應(yīng)的圖象如圖：
設(shè)△PQF₂的邊長為x，
則|PF₁|-|PF₂|=2a，
即|QF₁|=2a，
由|QF₂|-|QF₁|=2a，
則|QF₂|=|QF₁|+2a=2a+2a=4a，
即x=4a，
∵∠F₁QF₂=120°，
∴在三角形QF₁F₂，中，
4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$），
即4c²=4a²+16a²+8a²=28a²，
即c²=7a²，
則c=$\sqrt{7}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)雙曲線的定義建立方程關(guān)系，以及利用余弦定理結(jié)合雙曲線離心率的定義是解決本題的關(guān)鍵．